I bambini e la matematica

Gli approcci al numero naturale
La matematica e il suo studio presenta tre inscindibili aspetti:
· Si sviluppa attraverso una serie di linguaggi, di forme e modi del pensare codificati all’interno di modelli astratti;
· Si serve di questi modelli per dare concretezza alle sue costruzioni e per reinterpretare la realtà stessa;
· Va intesa come scienza che provvede alla formazione del pensiero agendo sui processi mentali e sulle costruzioni logiche del ragionamento.

La matematica in tutte le sue sfaccettature, a partire dalla scuola dell’infanzia, assume un’enorme valenza formativa che finisce con definire modi e forme variegate di pensiero; attraverso di essa si acquisisce un modo di pensare che nasce, non solo dal conoscere e saper usare i numeri, ma dal ragionamento su di essi. In questo senso si forma oltre l’abilità del “Fare” ma soprattutto di saper “approcciare il fare, comprendendo ciò che si fa”. (Cutrera–Lo Verde, 1999)
La complessa acquisizione del numero da parte del bambino, strettamente connessa con il pensiero e il suo sviluppo, necessita una pluralità di approcci che rappresentano altrettanti itinerari mentali e didattici e possono essere così sintetizzati:
· Approccio cardinale
· Approccio ordinale
· Approccio geometrico
· Approccio ricorsivo
Probabilmente negli ultimi anni in Italia per avvicinare il bambino al numero sia nella scuola dell’infanzia che nella scuola elementare, si è un po’ eccessivamente valorizzato e utilizzato l’approccio cardinale, dimenticando, invece,l’estrema importanza di tutti gli approcci e la loro correlazione  di sviluppo con abilità differenti di pensiero.
Gli approcci certamente non si escludono, anzi il più svariato uso di tutti quattro favorisce una più completa e sicura formazione del concetto di numero.
Nei paragrafi successivi sono descritti i quattro approcci.

Approccio cardinale
La concezione cardinale determina il numero di oggetti contenuti in un insieme attraverso il confronto con altri
insiemi.
Per favorire una corretta acquisizione del concetto di numero naturale secondo l’approccio cardinale sono importanti le attività di:

. Classificare
· Mettere in relazione
· Effettuare partizioni secondo relazioni di equivalenza
L’approccio cardinale si sviluppa attraverso l’uso della “corrispondenza biunivoca” per il confronto tra insiemi e quindi le conseguenti caratterizzazioni di insiemi equipotenti.
Si definisce numero naturale “n” il contrassegno, l’etichetta ovvero il numero cardinale comune ad una classe  di equivalenza, ogni numero naturale è quindi, nel suo aspetto cardinale, la rappresentazione di una classe di insiemi equipotenti.
La comprensione dell’invarianza del valore cardinale può essere acquisita dal bambino attraverso la coordinazione di due separate abilità cognitive:
– irrilevanza dell’ordine: considerare che elementi di un insieme sono da considerarsi uguali qualunque sia l’ordine secondo cui vengono presi in esame nel contarli;
– invarianza rispetto alle disposizioni spaziali: comprendere che il valore numerico di un insieme rimane inalterato anche se si compiono delle modifiche  nella disposizione spaziale.
Il momento più significativo di questo processo di apprendimento si presenta quando si comprende pienamente il valore “tanti quanti”.
Per il raggiungimento della comprensione e dell’uso consapevole del valore cardinale sono indispensabili le
seguenti attività:
· formare insiemi;
· rappresentare insiemi e individuare relazioni di appartenenza;
· individuare l’insieme vuoto, l’insieme unitario, il sottoinsieme;
· individuare relazioni fra insiemi;
· confrontare insiemi;
· riconoscere e costruire insiemi equipotenti.
L’approccio ordinale
La concezione ordinale considera il numero di oggetti contenuti in un insieme non attraverso un confronto, ma attivando un processo di conta per cui l’ultimo numero pronunciato corrisponde al numero cardinale dell’insieme.

Le operazioni logiche che permettono un apprendimento del numero secondo l’approccio ordinale sono:

– confrontare;
– mettere in relazione;
– ordinare.
Mentre nell’aspetto cardinale il numero è visto sotto forma di quantità, nell’aspetto ordinale è visto come una sequenza ordinata. Per questo motivo sono indispensabili le relazioni spazio–temporali (davanti–dietro, prima–dopo) che determinano il controllo d’ordine e favoriscono la comprensione di successore e predecessore.
La comprensione che la successione dei numeri naturali è caratterizzata dalla relazione d’ordine non è di immediata acquisizione per i bambini. Infatti, i bambini, soprattutto nella conta sono perfettamente in grado di pronunciare correttamente la sequenza dei numeri e di determinare lacardinalità di un insieme; con difficoltà però comprendono pienamente la relazione fra i numeri.
È probabile che, il bambino anche se nella conta spontanea antepone il numero 3 al 4, non sempre si rende
conto che il 4 è maggiore di 3, e nella successione ordinata si procede sempre attraverso l’aggiunta di uno cioè la relazione
tra due numeri successivi è sempre n ed n +1 e viceversa n ed n-1.
Per facilitare la comprensione del successivo e del precedente il bambino deve possedere un uso consapevole dei concetti temporali “prima – dopo” e dei concetti topologici “davanti – dietro”.
Per un pieno apprendimento del numero attraverso l’approccio ordinale sono indispensabili le seguenti abilità:
– distinguere le posizioni spaziali davanti-dietro
– usare consapevolmente i termini davanti e dietro
– distinguere e comprendere i concetti temporali prima-dopo
– confrontare quantità
– stabilire relazioni d’ordine fra i numeri
– usare i simboli <>=

L’approccio geometrico
Fin da piccoli i bambini soprattutto nelle situazioni di gioco fanno un uso spontaneo dell’approccio geometrico vanno ricordati in tal senso i giochi come ad esempio riprodurre passi di animali: tre passi da cane, due da formica, cinque da leone e così via(“regina, reginella”).
Questo ci fa comprendere che il bambino possiede un patrimonio di esperienze che nasce da un’attività di misura seppure risulta ancora “ingenua”.
Bruno D’Amore (1995, p. 96) sostiene che il numero, secondo questo approccio esprime una misura, o meglio le quantità di unità di misura che servono per misurare una certa grandezza. Le espressioni di misura già fanno parte dell’esperienza quotidiana dei bambini e le sentono perciò familiari, i termini connessi con la stima e la misura (vicino, lontano, lungo, corto…) fanno già parte del loro vocabolario. I  bambini cominciano spontaneamente ad utilizzare strumenti  occasionali e personali di misura (un passo, un bastone…) ed  esprimono la misura con un numero accompagnandolo a un’unità di misura arbitraria. Le occasioni di misurazione offerte dalla vita quotidiana e dal gioco sono molteplici e devono essere ben sfruttate dalla scuola.
Le attività di stima si manifestano spontaneamente dimostrando il loro profondo radicarsi nei comportamenti e nelle esperienze del bambino.
Quest’approccio è strettamente connesso con la tradizione geometrica greca che è fondamento del patrimonio  culturale collettivo, inoltre, ha un buon impatto nell’apprendimento poiché questo percorso risulta essere molto vicino all’esperienza vissuta.
L’insegnante non può dimenticare questo patrimonio posseduto dai bambini anzi occorre rafforzarlo ed ampliarlo.
Non si può certo dimenticare che in questo approccio il numero indica sempre il risultato di una misurazione e deve essere compreso attraverso la scoperta dell’unità di misura e del suo rapporto con la quantità da misurare.

Le abilità sottese che devono essere rafforzate e ampliatesono:
– riconoscere ed applicare relazioni d’ordine
– operare confronti di quantità
– operare confronti fra grandezze

L’approccio ricorsivo
I numeri di per sé sono un sistema ricorsivo, con ritmi sistematici. L’approccio al numero impostato sulla ricorsività e sulle leggi che la determinano si fonda sulle successioni e le regole che consentono la costruzione delle successioni stesse.
Questo approccio ha in sé qualità dinamiche e costruttive che lo caratterizzano per la sua interdisciplinarità;  schemi ricorsivi si trovano nella lingua, nella musica, nella
eometria, nelle rappresentazioni grafiche…
In questo approccio si comprende come funziona il sistema dei numeri naturali basandosi sull’idea di successivo:
“ogni numero ha un’unità in più del numero che immediatamente lo precede ed un’unità in meno del numero
successivo.”
L’approccio ricorsivo ha, quindi, alla base l’idea matematica di successione, idea che è già presente nella mente del bambino grazie anche agli stimoli ricevuti dall’ambiente familiare e sociale. Tra le prime successioni che entrano inizialmente nell’organizzazione mentale del bambino sono le successioni temporali, e dopo quelle spaziali per poi arrivare all’idea di ricorsività nei numeri.
Il bambino fin da piccolo inizia la “conta spontanea” e svolge in maniera “ricorsiva” alcune attività di gioco: saltare, far rimbalzare la palla, disegnare figure in fila.
Anche da piccoli i bambini sono immersi in esperienze percettive, linguistiche, motorie che si fondano e si sviluppano su uno schema ricorsivo. Spontaneamente, in situazioni di gioco, con semplici materiali costruiscono composizioni ricorsive di oggetti (ad esempio un tappo rosso, uno blu, uno giallo, uno rosso, uno blu…)
A scuola per consolidare la consapevolezza dello schema ricorsivo si propongono esperienze di costruzioni di sequenze  con cambi di colore, di forma, di dimensione…inoltre, per
sviluppare questo schema si possono utilizzare alcune classiche filastrocche che si ripetono seguendo un approccio ricorsivo.
Molto spesso negli ultimi anni per avvicinare il bambino  all’approccio ricorsivo al numero naturale si è utilizzato il materiale strutturato, costruito proprio a far percepire un
ritmo, un ritorno… però ancora oggi il dibattito sulla funzionalità di questi strumenti è ancora aperto in Italia.
Nel contare verbalmente in maniera intuitiva, il bambino
dispone i numeri naturali seguendo uno schema ricorsivo, li dispone in fila in ordine crescente formando in maniera spontanea la “successione dei numeri naturali”.
Per rafforzare la comprensione del numero naturale
attraverso l’aspetto ricorsivo possono essere proposte le seguenti attività:
– usare consapevolmente i termini davanti–dietro, prima–dopo, destra–sinistra
– riconoscere e continuare un ritmo grafico cromatico
– individuare sequenze
– costruire serie ascendenti e discendenti
– intuire che la serie naturale dei numeri si forma con l’aggiunta di un’unità.

I bambini e l’uso spontaneo degli approcci
I quattro approcci che portano all’acquisizione del numero naturale non sono da intendersi come strade separate ed autonome. Anche se ciascun percorso si differenzia dagli altri perché individua il suo filo conduttore in  un particolare aspetto del numero naturale e su questo si articola partendo da attività specifiche funzionali e mirate
mobilitando forme di pensiero finalizzate.
Secondo le nuove prospettive che considerano il bambino con già un patrimonio di abilità matematiche alle spalle, ha anche numerose intuizioni sul numero come ordinale, cardinale, come espressione di una misurazione e addirittura sul numero da un punto di vista ricorsivo anche se  il numero più presente è il numero–etichetta.
Si prova stupore quasi quando i bambini usano con destrezza il numero nei diversi approcci anche con naturalezza. Quel che succede è una modalità d’uso a secondo della funzione; in tal senso, Bruno D’Amore fa notare che il bambino utilizza anche un tono diverso  secondo l’approccio che utilizza, se utilizza il numero in senso  cardinale mette un’enfasi diversa nel pronunciare l’ultimo numero della conta o lo ripete; in questo atteggiamento si vede bene come il bambino abbia consapevolezza della variazione d’uso del numero. Seppure ancora in modo approssimativo, i bambini già intuiscono che il numero può assumere funzioni e significati diversi: cardinale, per indicare la quantità di elementi di un insieme; ordinale per caratterizzare un elemento di un raggruppamento ordinato;
ricorsivo, perché ogni numero ha un successivo generato dall’aggiunta del numero + 1; come espressione di una misura per determinare una data grandezza.
Nella prospettiva Piagetiana si considera il numero naturale prevalentemente sotto l’aspetto cardinale; in questo itinerario non si tiene conto delle idee di numero che i bambini già possiedono e che via via vanno costruendo.
È quindi da sottolineare che una buona educazione matematica, sia a scuola dell’infanzia che a scuola elementare, deve avvalersi di tutti e quattro gli approcci, soprattutto se si sottolinea il fatto che già i bambini possiedono in modo spontaneo un’idea di tutti e quattro gli approcci, in base all’esperienza quotidiana e agli stimoli forniti dall’ambiente. Questa loro visione del numero, che utilizzano  in varie situazioni, soprattutto di gioco, va sviluppata e rafforzata.
L’attenta ricognizione delle esperienze vissute dagli alunni fa emergere che essi hanno avuto occasione di verificare i vari approcci al numero, di cui ciascuno di essi ha la loro importanza.
L’ordinalità, ad esempio, è correlata alle situazioni di vita quotidiana e di gioco in cui si risponde alle domande “Viene prima o dopo? Precede o segue?” le esperienze vissute in questo senso sono innumerevoli e si rifanno alle situazione di gioco, di gare, di sequenze temporali, nel mettere in fila…
esperienze quotidianamente vissute dai bambini.
La cardinalità, invece, è correlata alle esperienze significative per domande del tipo: “Quanti sono? Chi ne ha di più?” nella realtà un bambino si trova spesso in queste situazioni, se deve confrontare ”la numerosità” di due insiemi; in queste situazioni adotta differenti strategie: se gli oggetti sono pochi e cioè per lui percettivamente dominabili potrà dare risposta corretta anche sulla base di una semplice “occhiata” ( immediatizzazione); se invece sono più numerosi inizia a metterli in corrispondenza uno a uno o  procederà a contarli. Utilizzando quest’ultima strategia il bambino dimostra che ha già intuito i due principi più importanti della cardinalità: l’ultima parola pronunciata indica  quanti oggetti o cose o persone sono state contate; che è in grado di saper usare la “conta” e cioè che i numeri sono tutti in fila.
Così anche il concetto di numero come misura è legato molte esperienze fatte dai bambini che utilizzano il numero
“dimensionato” per esprimere un certo aspetto del concreto, appunto la sua misura; infatti dirà che ha usato una tazza di zucchero quando ha aiutato la mamma a preparare la torta; che ha fatto tre passi da leone in situazione di gioco… in queste esperienze il concetto di numero e la problematica della misura sono continuamente intrecciate e producono importanti intuizione nei bambini (Franchi, 1987).
È stato più volte sottolineato come i bambini possiedono “capacità matematiche”, ma nello specifico cosa s’intende per  contare? Quali abilità e processi ci sono dietro?
La procedura del contare esige il possesso contemporaneo di più abilità:
1. conoscere i nomi dei numerali in ordine esatto (frequenza verbale numerica);
2. saper toccare (o indicare o guardare) ciascun elemento di  un insieme una ed una sola volta (o numerazione non numerica);
3. saper coordinare in un’attività motoria le due precedenti
abilità.
Il bambino inizia ad imparare dapprima i numeri e successivamente riesce a individuare la struttura che gli permette di costruire la sequenza dei numeri; la seconda abilità si manifesta quando il bambino sa organizzare lo spazio percettivo e lo esplora in maniera sistematica senza omissioni o ripetizioni; la terza abilità si manifesta con una coordinazione dell’azione del prendere in considerazione gli oggetti (toccandoli, guardandoli) con quella di esprimere verbalmente la sequenza numerica in modo da far corrispondere ad ogni numero pronunciato un oggetto individuato. (Cutrera – Lo Verde, 1999)
Non si può certo dimenticare che il contare si estrinseca in due modi diversi:
· intransitivo: contare per contare, recitare la filastrocca dei numeri
· transitivo: contare azioni o oggetti, dando all’ultimo numero pronunciato un’intonazione diversa con la consapevolezza che rappresenta il totale dell’insieme contato.
Una vera e propria formazione matematica deve assolutamente tener conto di tutti e quattro gli approcci, la  correttezza disciplinare, psicologica e metodologica non deve  lasciare al caso la razionalizzazione di nessuno degli aspetti o funzioni del numero.

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